Erwartete Rendite und Standardabweichung eines Portfolios im Zwei- oder Drei-Aktien-Fall

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In der Investitionsrechnung werden Studenten der BWL gerne vor die Aufgabe gestellt, die erwartete Rendite und Standardabweichung eines Portfolios zu berechnen. Wie dies im einfachen Zwei-Aktien-Fall und im etwas schwierigeren Drei-Aktien-Fall funktioniert, zeigt dieser E-Learning-Beitrag anschaulich an zwei Rechenbeispielen.

Der Zwei-Aktien-Fall

Gegeben sei folgendes Portfolio P mit den Aktien A und B

Aktie	A	B
Erwartete Rendite	20 %	12 %
Standardabweichung	45 %	35 %

Berechnet werden soll die erwartete Rendite und die Standardabweichung des Portfolios mit der Maßgabe, dass das Portfolio zu
60 % aus Aktien des Typs A und zu
40 % aus Aktien des Typs B besteht.
Die Korrelation der beiden Aktien miteinander betrage 0,3.

Zuerst wird die erwartete Rendite berechnet, hierzu wird im Fall von zwei
Aktien folgende Formel verwendet:

μ_P = x₁ ·
μ₁ + x₂ ·
μ₂

Die Formel mit Leben gefüllt lautet dann:

μ_P = 0,6 ·
0,2 + 0,4 ·
0,12

Das Ergebnis lautet somit μ_P = 0,168 – die erwartete
Rendite des Portfolios beträgt also 16,8 %.

Nachdem die Rendite des Portfolios nun bekannt ist, soll nun noch die
Standardabweichung des Portfolios bestimmt werden.

Hierzu verwenden wir die Formel für die Varianz eines Portfolios mit zwei
Wertpapieren.

ρ_P² = x₁² ·
σ₁² +
x₂² · σ₂² + 2 ·
x₁ ·
x₂ · σ₁ ·
σ₂ · Ρ_1,2

Auch diese Formel wird mit Leben gefüllt:

ρ_P² = 0,6² ·
0,45² + 0,4²
· 0,35² + 2 · 0,6
· 0,4 · 0,45 ·
0,35 · 0,3

Als Ergebnis erhalten wir Var(R_p) = 0,11518

Aber Achtung, dies ist die Varianz des Portfolios. Gefragt war aber nicht
nach der Varianz, sondern
nach der Standardabweichung. Aber kein Problem, einmal die Wurzel ziehen und wir
halten die Standardabweichung.

σ_P = √0,11518
≈ 0,3394

Die Standardabweichung des Portfolios beträgt also ungefähr 33,94 %.

Der Drei-Aktien-Fall

Gegeben Sie folgendes Portfolio P:

Aktie	A	B	C
Erwartete Rendite	8 %	12 %	25%
Standardabweichung	10 %	14 %	16 %

Die Korrelationen zwischen den einzelnen Aktien sei wie folgt:

	A	B	C
A	1	0,2	0
B		1	0,6
C			1

Darüber hinaus wird angenommen, dass alle Aktien gleichgewichtet sind.

Zuerst wird wieder die erwartete Rendite des Portfolios berechnet:

μ_P = x₁ · μ₁ + x₂ · μ₂ + x₃ · μ3

Aus der Angabe, dass alle Aktien gleichgewichtet sind, kann geschlossen
werden, dass die Gewichte jeweils 1/3 betragen. Für die Formel bedeutet dies:

μ_P = 1/3 · 0,08 + 1/3 · 0,12 + 1/3 · 0,25 = 0,15

Die erwartete Rendite des Portfolios beträgt also 15 %.

Bei der Standardabweichung wird es nun ein wenig komplizierter, weil wir die
Korrelationen zwischen den einzelnen Aktien beachten müssen. Die Formel für die
Varianz eines Portfolios im Fall von drei Aktien lautet:

ρ_P² = x₁² · σ₁²
+ x₂² · σ₂² + x₃² · σ₃²
+ 2 ·
x₁ · x₂ · σ₁ · σ₂ · Ρ_1,2
+ 2 ·
x₁ · x₃ · σ₁
· σ₃ · Ρ_1,3
+ 2 ·
x₂ · x₃ · σ₂ · σ₃ · Ρ_2,3

Mit Leben gefüllt sieht sie dann wie folgt aus:

ρ_P² = (1/3)² · 0,10² + (1/3)² · 0,14² +
(1/3)² · 0,16²
+ 2 · 1/3 · 1/3 · 0,10 · 0,14 · 0,2
+ 2 · 1/3 · 1/3 · 0,10
· 0,16 · 0
+ 2 · 1/3 · 1/3 · 0,14 · 0,16 · 0,6

ρ_P² = 274/28125

Um die Standardabweichung zu erhalten, wird noch einmal die Wurzel gezogen.

ρ_P = √274/28125 ≈
0.0987

Die Standardabweichung des Portfolios beträgt somit 9,87 %.

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24. Mai 2018